Forum studentĂłw informatyki UE WrocĹaw :: Zobacz temat

shawnzy · Wysłany: 2009-12-03, 18:39

Zad.1
Jak wiemy, przeksztaĹcenie jest liniowe, gdy:
a) L(x,y) = L(x) + L(y)
b) A -alfa; A* L(x) = L(Ax), wiÄc:

A) L(x,y,z) = -x + 2yz

x = (a,b,c), y = (d,e,f), z = (g,h,i) - proĹciej to zapisaÄ na x1,y1,z1 itd :-P

L(a+d+g, b+e+h, c+f+i) = -a-d-g + 2(b+e+h)(c+f+i)

L(a,b,c) + L(d,e,f) + L(g,h,i) = -a +2bc -d +2ef -g +2hi = a-d-g +2(bc)(ef)(hi) -jak widaÄ nie rĂłwnajÄ siÄ, wiÄc nie sÄ liniowe

B) L(x,y) = (-x, x+y, -y)
x = (a,b), y = (c,d)

L(a+c, b+d) = (-a-c,a+c+b+d, -b-d)
L(a,b) + L(c,d) = (-a,a+b,-b) + (-c,c+d,-d) = (-a-c,a+b+c+d,-b-d)

AL(a,b) = (-Aa, Aa + Ab, -Ab)
L(Aa,Ab) = (-Aa, Aa + Ab, -Ab) wszystko pasuje wiÄc jest liniowe

C) L(x,y,z) = (x-y +2z, x +2y - z)
L(a+d+g, b+e+h, c+f+i) = (a+d+g-b-e-h +2(c+f+i), a+d+g +2(b+e+h) -c-f-i)

L(a,b,c) + L(d,e,f) + L(g,h,i) = (a-b+2c,a+2b-c) +(d-e+2f,d+2e-f) + (g-h+2i,g+2h-i)= (a+d+g-b-e-h +2(c+f+i), a+d+g +2(b+e+h) -c-f-i)

A*L(a,b,c) = A * (a-b +2c, a +2b -c)
L(Aa,Ab,Ac) = (Aa -Ab +2Ac,Aa +2Ab -Ac) liniowe

D) L(x,y) = (0,-x-y,2)
L(a+c, b+d) = (0, -a-c-b-d,2)
L(a,b) + L(c,d) = (0,-a-b, 2) + (0,-c-d,2) = (0,-a-b-c-d,4) nie liniowe

Zad2
a) szukamy macierzy przeksztaĹcenia, wiÄc

$\left[\begin{array}{cc}a&b&\\c&d&\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{c}1&\\1&\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}a&b&\\c&d&\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}a&b&\\c&d&\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{c}1&\\-1&\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}a&-b&\\c&-d&\end{array}\right]$

nastÄpnie to co nam wyszĹo przyrĂłwnujemy kolejno do:
a + b = 1
c + d = 1 (pierwsza macierz)

a - b = 3
c - d = -3 (druga macierz)
i teraz wszystko moĹźemy zapisaÄ razem w jednej macierzy i rozwiÄzujemy Gausem ;]

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&0&0&|1&\\0&0&1&1&|1&\\1&-1&0&0&|3&\\0&0&1&-1&|-3& \end{array}\right]$
bo obliczeniu powinniĹmy otrzymaÄ:
a = 2
b = -1
c = -1
d = 2 ,wiÄc nasza macierz przeksztaĹcenia wyglÄda ostatecznie tak

$\left[\begin{array}{cc}2&-1&\\-1&2&\end{array}\right]$

podpunkt b) tak samo, ale go juĹź nie rozpiszÄ bo siÄ "zarĹźnÄ" w obliczeniach juĹź caĹkiem :-D

Zad3.
|-1 2| |x|
|0 1| |y| = [-x +2y, y, x -2y] czyli K(x,y) = [-x +2y, y, x -2y]
|1 -2| |z|

podobnie dla macierz Al, tylko Ĺźe mnoĹźymy jÄ przez wektor [x,y,z] i otrzymujemy L(x,y,z) = [2x -3z, x-y +2z]

Teraz przedstawie zĹoĹźenie K z L, a reszta to jest podobne

$\left[\begin{array}{cc}-1&2&\\0&1&\\1&-2&\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}2&0&-3\\1&-1&2\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}0&-2&7\\1&-1&2\\0&2&-7\end{array}\right]$

i odczytujemy przeksztaĹcenie: L(x,y,z) = (-2y+7z, x - y +2z, 2y - 7z)

ps. dziÄkuje za pomoc w zadaniach pit3rowi ;-)

pit3r · Wysłany: 2009-12-03, 20:15

Zad. 4

Mamy liniowe przeksztaĹcenie $L: \ U \rightarrow V$
WĂłwczas speĹnione sÄ nastÄpujÄce warunki:

1) wektor zerowy jest zawsze w jÄdrze
2) WeĹşmy dowolne $u_{1}, u_{2} \in Ker(L)$
Wtedy $L(u_{1}) = L(u_{2}) = 0$
A skoro $L$ jest przeksztaĹceniem liniowym to $L(u_{1} + u_{2}) = L(u_{1}) + L(u_{2}) = 0+0=0$ ,
co oznacza, Ĺźe $(v_1+v_2)\in Ker(L)$

3) WeĹşmy dowolny wektor $u \in Ker(L)$ i skalar $a$ .
Wtedy $L(av)=aL(v)=a \cdot 0 = 0$
Czyli $av \in Ker(L)$

JÄdro przeksztaĹcenia jest podprzestrzeniÄ liniowÄ przestrzeni $U$

//---------------------------------------------------------------------------------------------

Zad. 6

Mamy liniowe przeksztaĹcenie $L: \ U \rightarrow V$

WĂłwczas:
1) wektor zerowy naleĹźy do $Im(L)$ (? nie wiem czym to poprzeÄ, ale napisze niebawem)
2) JeĹźeli $v_{1}, v_{2} \in L(U)$ , to $v_{1} = L(u_{1}), v_{2} = L(u_{2})$ dla pewnych $u_{1}, u_{2} \in U$
Zatem $u_{1},u_{2} \in U$ oraz $v_{1}+v_{2} = L(u_{1}) + L(u_{2})=L(u_{1}+u_{2}) \in L(U)$
3) weĹşmy dowolny skalar $a$ oraz dowolny wektor $u \in U$
$au \in U$ , wiÄc $au=aL(u)=L(au) \in L(U)$

Obraz przeksztaĹcenia liniowego jest podprzestrzeniÄ liniowÄ.

shawnzy · Wysłany: 2009-12-06, 19:43

pit3r, ja bym to poparĹ funkcjÄ "na", czyli $\forall v \in V \ \exist u \in U \quad L(u) = v$ , czyli dla wektora zerowego takĹźe musi istnieÄ jakieĹ u. MyĹlÄ, Ĺźe dobrze to jest :-P

pit3r · Wysłany: 2009-12-06, 20:38

Zad 5.

(C)
$L: \ \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$
$L(x,y,z) = (x-y+2z,y-z)$
$Ker(L) = \{(x,y,z): \ L(x,y,z) = \vec{0} \} = \{x,y,z: \ (x-y+2z,y-z) = (0,0) \}$

NastÄpnie rozwiÄzujemy ukĹad rĂłwnaĹ:
$\left\{\begin{array}{l} x-y+2z = 0\\y-z=0 \end{array}$
I otrzymujemy:
$y=z, x=-z$
WiÄc
$Ker(L) = \{(-z,z,z): \ z \in \mathbb{R} \}$
$(-z,z,z) = z(-1,1,1)$
Mamy wiÄc $Ker(L) = LIN\{(-1,1,1)\}$

Teraz wystarczy sprawdziÄ, Ĺźe LIN rozpina przestrzeĹ i wektory z LIN sÄ liniowo niezaleĹźne(dowĂłd trywialny ;-)

)

PozostaĹe przykĹady rozwiÄzujemy analogicznie.

To taki maĹy prezent mikoĹajkowy ode mnie i shawzy'ego dla forumowiczĂłw, ktĂłrym algebra wydaje siÄ straszna ;-)

shawnzy · Wysłany: 2009-12-07, 19:51

Zad.7

a) L(x,y) = (x + y, 2x + 2y) = x(1,2) + y(1,2)

I sposĂłb (macierzowy - wektory zapisujemy poziomo)):

$\left[\begin{array}{cc}1&2&\\1&2&\end{array}\right]$ - Iw -> $\left[\begin{array}{cc}1&2&\\0&0&\end{array}\right]$

Im L = LIN {(1,2)} , bo wektory sÄ liniowo zaleĹźne [(1,2) - 1*(1,2) = (0,0)]

II sposĂłb:
A-alfa
B- beta
(x + y, 2x + 2y) = A(1,2) + B(1,2)
A(1,2) + B(1,2) = (0,0)

A + B = 0 => A = -B -> z czego wnioskujemy, Ĺźe sÄ zaleĹźne
A + 2B = 0

b) L(x,y) = (-x + y, x + 2y, x - y) = x(-1,1,1) + y(1,2,-1)

A(-1,1,1) + B(1,2,-1) = (0,0,0) //dwa wektory mogÄ tworzyÄ bazÄ w R^3

-A + B = 0 -> A = B -> B = 0
A + 2B = 0 -> A = -2B -> A = -2A -> 3A = 0 -> A = 0
A - B = 0
wektory lin. niezaleĹźne

Im L = LIN{(-1,1,1), (1,2,-1)}

c) L(x,y,z) = ( x - y + 2z, y - z, x - y, x + z) = x(1,0,1,1) + y(-1,1,-1,0) + z(2,-1,0,1)

A - B + 2G = 0 -> -G - G + 2G = 0
B - G = 0 -> B = G
A - B = 0 -> A = B
A + G = 0 -> A = -G

A,B,G = 0 lin. nie zaleĹźne

Im L = {(1,0,1,1), (-1,1,-1,0),(2,-1,0,1)}

d) L(x,y,z) = (-x + z, x + y + 2z) = x(-1,1) + y(0,1) + z(1,2)
//tylko dwa wektory z R^3 mogÄ tworzyÄ bazÄ w R^2, czyli byÄ niezaleĹźne np.

A(-1,1) + B(0,1) = (0,0)

-A = 0 -> A = 0
A + B = 0 -> B =0

Im L = LIN {(-1,1),(0,1)}

Taki trochÄ spĂłĹşniony prezent mikoĹajkowy :-)