[shawnzy]

tematy na wykładzie: 1)macierz dodatnio określona. 2)iloczyn skalarny, 3)norma wektorów. 4)przestrzeń euklidesowa i metryczna.

1)Def. Macierz A jest dodatnio określona gdy dla dowolnego wektora niezerowego (x1,x2...xn) należącego do R^n spełniona jest nierówność:

[x1,x2..xn] * A * [x1,x2...xn] <-( ten zapisujemy pionowo) > 0

**TW. Sylwestera

Macierz A jest dodatnio określona <=> dla każdego K =1,2...,n

każdy wyznacznik z naszej macierz jest większy od zera, czyli

|a11| >0

|a11 a12|
|a21 a22| >0 itd aĹź do k = n

**TW. Jeżeli A jest macierzą dodatnio określoną to wszystkie wartości własne tej macierzy są dodatnie detA > 0 (dalej był dowód tego, ale nie będę przepisywał bo nikt się nie rozczyta)

2) Def: Niech V będzie przestrzenią wektorową. Iloczynem skalarnym przestrzeni V nazywamy funkcję, która przyporządkowuje każdej parze wektorów u,v należących do V liczbę rzeczywistą.

Własności iloczynu:
1) (u,v) = (v,u)
2) (u+v, w) = (u,w) + (v,w)
3) (alfa * w, v) = alfa (w,v) alfa naleĹźy do R
4) (u,v) => 0
5) (u,u) = 0 <=> u = 0

Przykład: iloczyn skalarny (kanoniczny) w punkcie R^n

((x1,x2,...xn), (y1,y2,..,yn) = (x1*y1, x2*y2, ...,xn* yn)

**Def: Przestrzń wektorowa V z iloczynem skalarnym ( , ) nazywamy przestrzenią Euklidesową.

Przykład: R^n z klasycznym iloczynem skalarnym jest przestrzenią Euklidesową.

3) Def: Normą wektora u w przestrzeni Euklidesowej (V, ( , )) nazywamy przyporządkowanie liczby

|| u || = pierwiastek z (u,u) <- iloczyn skalarny

**TW: Własności normy:
1) || u || => 0
2) || u || = 0 <=> u = 0
3) || alfa * u || = |alfa| * || u || dla alfa naleĹźacego do R, u do V

Przykład:
|| (x1, x2) || = pierwiastek z (x1^2, x2^2) - jest to długość wektora (x1, x2) i odległość jego od punktu (0,0)

**Def: Odległość między wektorami u, v nazywamy liczbę
d(u,v) = || u - v ||

Własności odległości między wektorami:
1) d (u, v) => 0 (większe równe)
2) d (u, v ) = d (v, u)
3) d (u, w) <= d(u,v) + d(v,w) - nierówność trójkąta (mniejsze równe)

Przykład w R^2
u = (x1,x2) v= (y1,y2)

d(u, v) = || u - v || = pierwiastek z [(u - v, u - v)] = pierwiastek z [(x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2] - odległość między wektorem u a v

4) Def: Przestrzeń wektorowa w z odległością d nazywa się przestrzenią metryczną.

// mam nadzieję, że da się rozczytać. Bez TeXa trochę ciężko zapisywać